Fonctions continues
Exercice 1. Fonction p´riodique e Soit f : R ?? R et T > 0. On suppose que f est T -p´riodique cad : ? x ? R, f (x + T ) = f (x). e 1) Si f poss`de une limite en +?, montrer que f est constante. e 2) Si f est continue non constante, montrer que f a une plus petite p´riode. e 3) Si f est continue, montrer que f est born´e et atteint ses bornes. e Exercice 2. Fonction ayant deslimites ` l’in?ni a Soit f : [0, +?[ ?? R une fonction continue ayant une limite ?nie en +?. 1) Montrer que f est born´e. e 2) Montrer que f admet un maximum ou un minimum absolu, mais pas n´c´ssairement les deux. e e 3) Montrer que f est uniform´ment continue. e Exercice 3. Permutation de d´cimales e ? xk le d´veloppement d´cimal propre de x. Pour x ? [0, 1[, on note x = e e k k=1 10 ? xk+1 1)Soit f : [0, 1[ ?? [0, 1[ d´?nie par : f (x) = e k . Montrer que f est continue par morceaux. k=1 10 ? x2k + x2k?1 . D´terminer les points o` g est continue. e u 2) Soit g : [0, 1[ ?? [0, 1[ d´?nie par : g(x) = e 102k?1 102k k=1 Exercice 4. f (x + 1) ? f (x) ?? a Soit f : R ?? R continue telle que f (x + 1) ? f (x) ? ? ? a ? R. ? ??
x?+?

f (n) 1) Montrer que n ? ? ? a. ?? n?? f (x) 2) Montrerque x ? ? ? a. ?? x?? Exercice 5. max(f, g) Soient f, g : R ?? R deux fonctions continues. On pose pour x ? R : h(x) = max f (x), g(x) . Montrer que h est continue. Exercice 6. Prolongement d’in´galit´s e e 1) Soient f, g : R ?? R continues telles que : ? x, y ? Q, f (x) < g(x). a) Montrer que f g. b) Montrer qu’on n’a pas n´c´ssairement : ? x, y ? R, f (x) < g(x). e e 2) Soit f : R ?? R continuedont la restriction ` Q est strictement croissante. Montrer que f est strictement a croissante. ´ Exercice 7. Etude de sup(f ([x, x + 1])) Soit f : R ?? R uniform´ment continue. On pose g(x) = sup f ([x, x + 1]) . Montrer que g est continue. e Mˆme question en supposant seulement f continue. e Exercice 8. Weierstrass Soient f, g : [a, b] ?? R continues. On pose h(t) = sup{f (x) + tg(x) tq x ? [a,b]}. Montrer que h est continue. Exercice 9. Weierstrass Soit f : [a, b] ?? R continue. Montrer que sup f = sup f .
[a,b] ]a,b[

Exercice 10. Weierstrass Soient f, g : [a, b] ?? R continues. On suppose que : ? x ? [a, b], f (x) > g(x) > 0. Montrer qu’il existe k > 1 tel que f > kg. Exercice 11. TVI ` l’in?ni a Soit f : [0, +?[ ?? R continue ayant une limite f (0) et ( exclu).

? R en +?.Montrer que f prend toute valeur comprise entre

continu.tex mardi 20 f´vrier 2007 e

Exercice 12. f (x) = g(x) 1) Soit f : [0, 1] ?? [0, 1] continue. Montrer qu’il existe x ? [0, 1] tel que f (x) = x. 2) Soient f, g : [0, 1] ?? [0, 1] continues telles que f ? g = g ? f . Montrer qu’il existe x ? [0, 1] tel que f (x) = g(x) (on pourra s’int´resser aux points ?xes de f ). e Exercice 13. f continued´croissante =? point ?xe e Soit f : R ?? R continue d´croissante. Montrer qu’il existe un unique r´el x tel que f (x) = x. e e Exercice 14. Mines MP 2002 Soit f : R ?? R continue telle qu’existe a v´ri?ant f ? f (a) = a. f a-t-elle des points ?xes ? G´n´raliser. e e e Exercice 15. Cordes de longueur 1/n Soit f : [0, 1] ?? R continue telle que f (0) = f (1). 1) Montrer qu’il existe x ? 0, 1 telque f (x) = f x + 1 . 2 2 1 1 2) Pour n ? N, n 2, montrer qu’il existe x ? 0, 1 ? n tel que f (x) = f x + n . 3) Trouver une fonction f telle que : ? x ? 0, 3 , f (x) = f (x + 2 ). 5 5 4) Montrer qu’il existe a > 0 tel que : ? b ? ]0, a], ? x ? [0, 1 ? b] tq f (x) = f (x + b). Exercice 16. f ([a, b]) ? g([a, b]) Soient f, g : [a, b] ?? R continues. On suppose que : ? x ? [a, b], ? y ? [a, b] tq f(x) = g(y). Montrer qu’il existe x ? [a, b] tel que f (x) = g(x). Exercice 17. TVI + injective =? continue Soit f : R ?? R . On dit que f v´ri?e la propri´t´ des valeurs interm´diaires si : e ee e ? a, b ? R avec a < b, ? y compris entre f (a) et f (b), ? x ? [a, b] tq f (x) = y. 1) Montrer que si f v´ri?e la propri´t´ des valeurs interm´diaires et est injective, alors elle est continue. e ee e 2)...