Séries entières
1 Dé nitions
Dé nition d’une série entière :
Sit
(an )
une suite de nombres complexes, la
série entière
de la variable
complexe z associée à la suite notée :
(an )
est la série de fonction de
C
dans
C
an z n
Lemme :
Soit
une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombrecomplexe z, an z n = O(| zz0 |n )
an z n
Théorème : lemme d’Abel
Soit
an z n
une série entière et
z0
un nombre complexe non nul. Si la suite
n (an z0 )
est bornée, alors pour tout nombre complexe z tel que série numérique an z n est absolument convergente.
|z| < |z0 |,
la
Dé nition du rayon de convergence : R
Etant donné une série entière an z n , on note A l’ensembledes réels positifs n r tels que la suite (an r ) soit bornée. On dé nit de la série entière an z n par :
le rayon de convergence
R = sup A = sup{r ? R+ , (an rn )n?N born´e} e
Théorème :
Soit
an z n
une série entière de rayon de convergence R.
• •
Pour tout complexe z véri ant Pour tout complexe z véri ant
|z| < R, |z| > R,
la série numérique la série numérique
an zn an z n
est est
absolument convergente. grossièrement divergente.
Théorème :
Soit
an z n
une série de rayon de convergence R. Alors :
R = sup{r ? R+ , (an rn ) converge vers 0}
1
Dé nition du disque de convergence :
Soit
an z n
une série entière de rayon de convergence R. Dans le plan com-
plexe, on appelle
disque de convergence de la série entière ledisque ouvert
{z ? C, |z| < R}
de centre O, de rayon R :
2 Calcul du rayon de convergence
Théorème :
Soit
an z n
une série entière.
• •
Si la série numérique Si la série numérique
convergence R est tel que convergence R est tel que
n an z0 converge pour un certain z0 , |z0 | ? R n an z1 diverge pour un certain z1 , R ? |z1 |.
le rayon de le rayon de
Règle d’Alembertpour les séries entières :
Soit
an z n
une série entière véri ant les hypothèses suivantes :
• •
pour tout entier n, an = 0 an+1 |) tend vers un élément L de R+ ? {+?} la suite (| an Alors le rayon de convergence R de la série entière est : 1 ? si L ? R+ L + ? si L = 0
0
si
L = +?
3 Opérations sur les séries entières
Théorème :
Soit deux séries entières de rayons deconvergence respectifs R et R’. On note p le rayon de convergence de la série entière (an +bn )z n ,
an z n
et
bn z n
somme de ces deux séries entières, alors :
• p ? min(R, R ) • pour tout z tel que z < min(R, R )
+?
:
+?
+?
(an + bn )z =
n=0 n=0
n
an z +
n=0
n
bn z n
•
si
R=R,
alors
p = min(R, R ).
2
Produit de Cauchy :
Le produit deCauchy des séries entières cn z n avec n
an z n
et
bn z n
est la série entière
cn =
j=0
aj bn?j
Théorème :
Soit
an z n
et
bn z n
tifs R et R’. Notons
deux séries entières de rayons de convergence respeccn z n la série entière produit de Cauchy de ces deux
séries et R son rayon de convergence, alors :
•
pour tout nombre complexe z tel que |z| < min(R, R), les trois séries numériques an z n , bn z n et cn z n sont absolument convergentes. De plus :
+?
+?
+?
cn z n = (
n=0 n=0
an z n )(
n=0
bn z n )
• R ? min(R, R )
4 Continuité sur le disque de convergence
Théorème :
La série entière
an z n
est normalement convergente sur tout compact
contenu dans son disque ouvert de convergence.
Théorème :
Soit
an z nune série entière de rayon de convergence
R > 0.
La fonction
somme de cette série entière est continue sur le disque ouvert de convergence
{z ? C, |z| < R}
5 Primitive de la somme d’une série entière
Théorème :
Soit
an x n
une série entière réelle de rayon de convergence R strictement
positif. Une primitive sur
] ? R, R[ de la fonction somme
x +? +?
S de la…