1 POLYNÔMESdu cours d’algèbre de Maths Spé MP

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Polynômes
n n

1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n ? N. ?a ? K, P(X) =
k=0

P(k) (a) (X ? a)k et en particulier P(X) = k!

k=0

P(k) (0) k X . k!

Pour tout polynôme P et tout entier naturel k, le coe?cient de Xk dans P est ak =

P(k) (0) . k!

2) Racines d’un polynôme Ordre demultiplicité d’une racine. (Pour a ? K et k ? N) a est racine de P d’ordre k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X ? a)k Q et Q(a) = 0 (si et seulement si P est divisible par (X ? a)k et pas par (X ? a)k+1 ). a est racine de P d’ordre au moins k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X ? a)k Q (si et seulement si P est divisible par (X ? a)k ).
k?1

Théorème. Lereste de la division euclidienne de P par (X ? a)k est
i=0

P(i) (a) (X ? a)i . i!

Théorème (caractérisation de l’ordre de multiplicité). a est racine de P d’ordre k si et seulement si P(a) = P ? (a) = . . . = P(k?1) (a) = 0 et P(k) (a) = 0. a est racine de P d’ordre au moins k si et seulement si P(a) = P ? (a) = . . . = P(k?1) (a) = 0. 3) Structure d’anneau de K[X]. Dé?nition. Un idéal deK[X] est une partie I de K[X] telle que : ? (I, +) est un sous-groupe de (K[X], +),  ?P ? I, ?Q ? K[X], PQ ? I. Dé?nition. Un idéal I de K[X] est prinicipal si et seulement si il est engendré par l’un de ses éléments c’est-à-dire si et seulement si il est de la forme I = PK[X] = {PQ, Q ? K[X]}. Théorème. (K[X], +, ×) est un anneau principal, c’est-à-dire que tout idéal de K[X] est prinicipal. 4)PGCD, PPCM, Bezout, Gauss. Théorème et dé?nition. A et B sont deux polynômes non nuls. L’idéal engendré par A et B est A.K[X] + B.K[X] = {AU + BV, (U, V) ? K[X]}. Le PGCD de A et B est l’unique polynôme D unitaire tel que AK[X] + BK[X] = DK[X]. C’est un diviseur commun à A et B et tout diviseur de A et B divise D. Les diviseurs communs à A et B sont les diviseurs de D. Théorème de Bézout. Soient A etB deux polynômes non nuls. A et B sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes U et V tels que AU + BV = 1. Théorème. Deux polynômes non nuls sont premiers entre eux si et seulement si ils sont sans racine commune dans C. Théorème de Gauss. Soient A, B et C trois polynômes non nuls. Si A divise BC et A est premier à B, alors A divise C. Théorème et dé?nition. A et B sontdeux polynômes non nuls. AK[X] ? BK[X] est un idéal de K[X]. Le PPCM de A et B est l’unique polynôme M unitaire tel que AK[X] ? BK[X] = MK[X]. C’est un multiple commun à A et B et tout multiple commun à A et B est un multiple de M. Les multiples communs à A et B sont les multiples de M. Théorème. Si A et B sont unitaires, MD = AB.

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c Jean-Louis Rouget, 2007.Tous droits réservés.

2 RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. 5) Polynômes irreductibles. Décomposition en produit de facteurs irréductibles Dé?nition. Un polynôme P de degré au moins 1 est irréductible sur K = R ou K = C si et seulement si il n’existe pas un diviseur Q de P tel que 1 < degQ < degP. Théorème. Deux polynômes irréductibles distincts sont premiers entre eux. Théorème(décomposition en produit de facteurs irréductibles). Soit P ? K[X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. P s’écrit de manière unique à l’ordre près des facteurs sous la forme
? ? P = dom(P)P1 1 . . . Pk k ,

où P1 , . . . , Pk sont des polynômes irréductibles sur K, unitaires et deux à deux distincts et ?1 , . . . , ?k sont des entiers naturels non nuls. Théorème (de d’Alembert-Gauss).• Enoncé 1. Tout élément de C[X] de degré au moins 1 admet au moins une racine dans C. • Enoncé 2. Tout élément de C[X] de degré au moins 1 est scindé sur C. • Enoncé 3. Tout élément de C[X] de degré au moins 1 se décompose de manière unique sous la forme P = dom(P)(X ? z1 )?1 . . . (X ? zk )?k , où z1 , . . . , zk sont des complexes deux à deux distincts et ?1 , . . . , ?k sont des entiers…