Lycée Fénelon Ste Marie
1ère ES
13 / 04 / 2010
Durée 3 h – calculatrice autorisée – le barème est indicatif
Bac blanc de Mathématiques n° 2
Les feuilles annexes sont à rendre avec la copie
EXERCICE 1 – (6 points) Une entreprise fabrique des pizzas comptées par lots de 40 pizzas. Les coûts de production sont, d’une part, les coûts fixes (amortissement du four, assurances, …)d’autre part, les coûts variables (ingrédients, salaires, …) qui dépendent du nombre q de lots fabriqués. On suppose qu’elle vend toute sa production. On estime que la fonction de coût (total) de cette entreprise est donnée par la fonction suivante :
C !q »
#
1 3 q 2
$ 2 q2 % 5q % 20
où q est le nombre de lots fabriqués, et C(q) est estimé en dizaines d’euros.
Partie A : étude du coûtmarginal et du coût total
Le coût marginal est le coût de production de la dernière unité produite. Ce coût marginal est assimilé à la fonction dérivée du coût total. 1. Etudier les variations de la fonction C sur l’intervalle [1 ; 8] . 2. Etudier les variations de la fonction dérivée C’ sur [1 ; 8] . 3. Représenter graphiquement, dans le même repère, les fonctions C et C’. (Produire cegraphique sur la feuille annexe 1, unités graphiques : 2 cm pour 1 lot en abscisses, et 1 cm pour 5 dizaines d’euros en ordonnées).
Partie B : concurrence parfaite
Dans cette partie, on suppose que l’on est en situation de concurrence parfaite, c’est-à-dire que le prix de vente est imposé par le marché. Le prix de vente du lot est calculé à partir du prix de vente unitaire fixé à 7,5 € la pizza.1. Calculer le prix de vente d’un lot de pizzas. Montrer que la recette R(q) (en dizaines d’euros) pour q lots vendus est
R ! q « #30 q
.
2. Sur le même graphique que la partie A, tracer la droite d’équation y = 30 . 3. « Tant que le coût marginal est inférieur au prix de vente, l’entreprise a intérêt à produire. » Expliquer pourquoi. 4. Le bénéfice réalisé par la vente de q lots de pizzasest B ! q « # R ! q « $C ! q » . Etudier les variations de la fonction B et en déduire la production qui assure le bénéfice maximal. Que représente cette production sur le graphique précédent ?
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BAC Blanc de Maths n° 2 du 13 avril 2010
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EXERCICE 2 – (6 points) On considère la fonction f définie sur (&&)1*&par : 1. Soient les réels a, b et c telsque :
f ! x « # a x%b% c !1$ x »
c# 2 1 2
f ! x »#
x2 – x%4 . 2!1$ x »
pour tout réel de (&&)1* . .
Montrer que a #$
,
b#0
et
2. Etudes de limites. a) Etudier les limites de f en 1, ++ et ,+. b) Montrer que la droite D d’équation y#$ 2 est une asymptote à la courbe C représentative de f. c) Donner une équation de l’autre asymptote à C . 3. Etudier les variations de f . 4.Donner une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 2. i j Tracer C , D et T dans un repère orthonormal ! O ; – , – » (Produire le graphique sur la feuille annexe 2)
x
EXERCICE 3 – (3 points) On considère la fonction f dont on donne la courbe représentative ci-contre. Parmi les 4 courbes suivantes, l’une est la courbe représentative de la dérivée f ‘ de f, et l’une est la courbereprésentative d’une fonction F dont la dérivée F’ est f. Désigner, en le justifiant, la courbe représentative de F, et celle de f ‘.
&’ j O &’ i
&’ j O &’ i
&’ j O &’ i
fig. 1
fig. 2
&’ j O &’ i
&’ j O &’ i
fig. 3
fig. 4
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EXERCICE 4 – (5 points)
RESERVE AUX ELEVES QUI
NE FONTPAS
L’OPTION MATHS
f est la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 4] dont la courbe représentative dans un repère i j orthonormal ! O ; – , – » est la courbe C ci-dessous. N + + + + S
&’ i
R +
C
P M+
&’ j O
Q
.
Les points M, N, P, Q et R appartiennent à C . Les coordonnées de M sont celles de P sont
La courbe C admet en chacun des points N et Q une…