Université Blaise Pascal
UFR Sciences et Technologies
Licence Sciences et Technologies

Méthodes Numériques
2007/2008

Cursus : Licence Mathématiques (L3)

Contrôle Continu n°1

Groupe : F2

1 . INTRODUCTION

Dans ce projet on cherche à calculer les valeurs approchées de l’intégrale sur un intervalle [a, b] d’une fonction g qui est suffisamment régulière sur cet intervalle, pardifférentes méthodes.
Ici : – g(x) = 1/x sur R* donc sur l’intervalle [1, 2]
– g(x) = sinx+xcosx est continue sur R donc sur [0, 3?]
– g(x) = | x | ? est continue sur R donc sur [-1, 2] = [-1, 0] U [0, 2] (avec ? = 0.1 et ? = 2.1)

1. Méthode des Trapèzes

La méthode des trapèzes consiste à approcher à gauche I pour l’approximation de g par une fonctionaffine sur caque intervalle [xi, xi+1] pour tout i ? {0,……,N} et qui coïncide avec f en xi et xi+1. Cette méthode donne une meilleure approximation par rapport à celle des rectangles à gauche ou à droite qu’on n’étudiera pas ici.

2. Méthode Romberg

On considère deux subdivisions régulières de [a, b], l’une à N+1 points (N ? N*) de
pas h notée (xi)i=0,…N , l’autre à 2N+1 points depas h/2 notée (yi)i=0,…,2N.

a) on demande de vérifier les formules suivantes :
– pour tout k ? {0,……,N} xk = y2k
– pour tout k ? {0,……, N-1} ( xk + xk+1 ) / 2 = y2k+1
On sait que pour tout k ? {0,……, N} on a xk = a + kh
y2k = xk ( y2k = a + ((2k)h) / 2
C’est h/2 car les pas de cette subdivision est h/2.
y2k = a + ((2k)h) / 2 = a+ kh = xk pour tout k ? {0,……, N}Maintenant les formules pour les termes impairs :
le pas est toujours h/2 mais k ? {0,……, N-1} car k = 0 => 2k+1 = 1
k = N-1 => 2k+1 = 2N
y2k+1 = a + ((2k+1)h) / 2
= a + 2(kh)/2 + h/2 = (2a+2kh+h)/2

xk + xk+1 = a + kh + a + (k+1)h
= 2a + 2kh +h
(xk + xk+1) = ( 2a + 2kh +h ) / 2 = y2k+1 pour tout k ? {0,……, N-1}

b) on veut déduire de a) que T (2)(h/2) est la formule d’intégration numérique composée de Simpson pour la subdivision à n+1 points (xi)i=0,…N.

La Méthode de Simpson, du nom de Thomas Simpson est une technique de calcul numérique d’une intégrale
Cette méthode utilise l’approximation d’ordre 2 de f par un polynôme quadratique P prenant les mêmes valeurs que f aux points d’abscisse a, b et m = (a+b) / 2 . Pour déterminerl’expression de cette parabole (polynôme de degré 2), on utilise l’interpolation lagrangienne. Le résultat peut être mis sous la forme :
[pic].
Un polynôme étant une fonction très facile à intégrer, on approche l’intégrale de la fonction f sur l’intervalle [a,b], par l’intégrale de P sur ce même intervalle. On a ainsi, la simple formule:
[pic]

Par ( 2 ) on a :
T (2) (h/2) = ( 4T(1)(h/2) –T(1)(h) ) / 4-1

Par ( 1 ) on connaît T(1)(h), il reste à trouver la formule de T(1)(h/2) c’est-à-dire la formule composée d’intégration numérique des trapèzes associée à une subdivision régulière de [a,b] à 2N+1 points (N ? N*) de pas h/2.

T(1)(h/2) = h/2 ( (g(a)+g(b)) / 2 + ? g(yk) ) séparation des termes pairs et impairs (N-1+N-2=2N-1)

= h/2 ( (g(a)+g(b)) / 2 + ?(g(y2k) + g(y2k+1)) )

= h/2 ( (g(a)+g(b)) / 2 + ? (g(xk) + g(( xk + xk+1 ) / 2)) )

dans la première somme c’est ? g(xk) car on a d’après a) pour tout k ? {0,……,N} xk = y2k mais dans la deuxième on a pour tout k ? {0,……, N-1} ( xk + xk+1 ) / 2 = y2k+1 et dans la formule ( 1 ) la somme commence à 1 et finit à N-1 = nombre de points – 2 (c’est-à-dire k-1) donc
? g(( xk +xk+1 ) / 2)) = ? g(( xk + xk+1 ) / 2))

d’où T(1)(h/2) = h/2 ( (g(a)+g(b)) / 2 + ? (g(xk) + g(( xk + xk+1 ) / 2)) )

donc T (2) (h/2) = ( 4T(1)(h/2) – T(1)(h) ) / 3

= 1/3 ( 2h ( (g(a)+g(b)) / 2 + ? (g(xk) + g(( xk + xk+1 ) / 2)) ) – ( h (g(a)+g(b)) / 2 ) + ? g(xk) ) ) )

= 1/3 (h ( (g(a)+g(b)) / 2 + ? g(xk) + 2 ? g(( xk + xk+1 ) / 2)) )

= h/3 ((…