2nde ISI

Fonctions chapitre 4

2009-2010

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
Table des matières
I Dé?nitions 1 3 4

II Variations et représentation graphique III Méthodes pratiques pourdéterminer les variations de P

I

Dé?nitions
Dé?nition 1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P dé?nie sur R de la forme P (x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des réelsappelés coe?cients avec a = 0.

Exemple 1 Exemples de fonctions polynômes du second degré, ou pas !

fonctions polynôme de degré 2 P (x) = 2×2 ? 5x + 3 P (x) = ?x2 + 3 P (x) = ?7×2 + 3x

coe?cients a= 2, b = ?5, c = 3 a = ?1, b = 0, c = 3 a = ?7, b = 3, c = 0

autres fonctions P (x) = x3 + 2×2 ? 5x + 3 P (x) = x ? 5 f (x) = x2 ? 5x + 1 x

Dé?nition 2 Une expression de la forme a(x ? ?)2 + bavec a = 0 s’appelle la forme canonique d’un polynôme de degré 2. Toute fonction polynôme admet une forme canonique.

Exemple 2 L’expression P (x) = 2(x ? 1)2 + 3 est la forme canonique du polynôme P(x) = 2×2 ? 4x + 5. En e?et : 2(x ? 1)2 + 3 = 2(x2 ? 2x + 1) + 3 = 2×2 ? 4x + 5 = P (x).

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IIVariations et représentation graphique

Les parties en bleu ne sont pas exigibles en seconde.

Propriété 1 La fonction polynôme de degré 2 dé?nir sur ] ? ? ; +? [ est : o strictement décroissante puisstrictement croissante si a > 0, o strictement croissante puis strictement décroissante si a < 0, Tableau de variations et représentation graphique : a>0 x ?? +? f min
b x = ? 2a b ? 2a

a 0,alors a(x ? ?)2 ? 0 donc, a(x ? ?)2 + ? ? ? le minimum ? est atteint lorsque a(x ? ?)2 = 0, c’est-à-dire pour x = ?.
Exemple 3 Soit P (x) = 2(x ? 2)2 ? 1, on obtient : P est décroissante sur ] ? ? ; 2], croissante sur [ 2 + ? [. Son minimum atteint en 2 vaut ?1. x ?? +? f ?1 2 +? +? f ?? ??

Si a < 0, alors a(x ? ?)2 ? 0 donc, a(x ? ?)2 + ? ? ? le Maximum ? est atteint lorsque a(x ? ?)2 =...