LES FONCTIONS NUMÉRIQUES USUELLES
I) Généralités 1) Définition Soit I un intervalle de ? , une fonction est une relation qui associe à tout élément x de I, un nombre réel f(x) au plus. f:I ?? x ? f(x) x est la variable et f(x) est l’image de x. On note y = f(x). L’ensemble des éléments de I ayant une image est appelé ensemble de définition, noté E. 2) Représentation graphique Dans un plan munid’un repère, la représentation graphique C d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). y = f(x) est une équation cartésienne de C.
f(x)
0 3) Sens de variation d’une fonction
x
Si pour tous nombres x1 et x2 d’un intervalle I = [a ; b], tels que x1 < x2 on a : f(x1) < f(x2), alors la fonction est croissante sur I (fig 1) f(x1) > f(x2), alors la fonction estdécroissante sur I (fig 2) f(x1) = f(x2), alors la fonction est constante sur I (fig 3)
f(x2) f(x1)
f(x1)
f(x2)
=
f(x1)
f(x2) 0 x1 fig 1
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x2
0
x1 fig 2
x2
0
x1 fig 3
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x2
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Une flèche indique, dans le tableau de variation, le sens de variation de la fonction. x Sens devariation de la fonction f a b
Cas d’une fonction croissante sur l’intervalle [a ; b]
4) Parité Soit une fonction définie sur un intervalle I tel que si x ? I, alors –x ? I. a) f est une fonction paire si pour tout x de I : f(-x) = f(x). Dans un repère orthonormal, sa courbe représentative présente une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
f(-x) = f(x)
-x
0
x
b) f est une fonctionimpaire si pour tout x de I : f(-x) = – f(x). Dans un repère orthonormal, sa courbe représentative présente une symétrie centrale par rapport à l’origine du repère.
f(x)
-x
0 f(-x)
x
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II) Fonction affine 1) Définition On appelle fonction affine, toute fonction définie par uneexpression de la forme f(x) = ax + b ; a et b étant des réels. Remarque : Une fonction linéaire (x ? ax) est une fonction affine particulière (b = 0). 2) Représentation graphique La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère cartésien est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées. y = ax + b est une équation de la droite représentative. coefficient directeur ? ordonnée à l’origine ?a b 1
0
Dans le cas particulier où a = 0, la fonction s’écrit f(x) = b ; f est une fonction constante représentée par une droite parallèle à l’axe des abscisses. 3) Coefficient directeur Le coefficient directeur a d’une droite D passant par les points A (xA ; yA) et B (xB ; yB) est donné par la relation : y – yA a ? B xB – xA
yB
+ B
xA A+ 0 yA xB
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III) Les autres fonctions usuelles 1) fonction f : x ? ax² La représentation graphique de f est une parabole. La fonction f est paire : f(-x) = a(-x)² = ax² = f(x) cas où a > 0 cas où a < 0
1 0 1
1 0 1
x f
0 0
x f
0 0
2) fonction « racine carrée » f : x ? x Dans un repère orthonormal, la représentationgraphique de la fonction f : x ? x se déduit de la représentation graphique de la fonction « carrée », x ? x² par une symétrie d’axe la droite d’équation y = x. y = x²
y=x
y=
1 0 1
x
x f
0 0
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3) fonction f : x ?
a x
La représentation graphique de la fonction f : x ? impaire :
a estune hyperbole. La fonction f est x
a x = – = – f(x) -x a L’hyperbole présente une symétrie ayant pour centre l’origine du repère.
f(-x) =
cas où a > 0
cas où a < 0 1 0 1 1 0 1 x f 0 x f 0 Pour de grandes valeurs de x ou de y, la courbe « se rapproche » des axes du repère : on dit que les axes sont des asymptotes de la courbes. 4) fonction f : x ?x3 La…