J’aime les étoiles et je souhaite devenir astrophysicien car je suis bien que lorsque j’ai la tête dans les étoiles et c’est mon plus grand rêve.Un jeu consiste à tirersimultanément 4 boules indiscernables au toucher d’un sac contenant une boule noire et 9 boules blanches, puis lancer un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.
Si la boulenoire est tirée, il faut obtenir un nombre pair avec le dé pour gagner.Si la boule noire n’est pas tirée, il faut obtenir un six avec le dé pour gagner.
On appelle Nl’évènement « la boule noire figure parmi les boules tirées » et G l’évènement « le joueur gagne ».1- a) Déterminer la probabilité de l’évènement N
b) Démontrer que la probabilité del’évènement G est égale à 3/10 . On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
c) Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu’il ait tiré la boule noire ?

2 – Pour jouerà ce jeu, une mise de départ de m euros est demandée, où m est un réel strictement positif.
Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros.
S’il ne gagne pas mais qu’il a tiréla boule noire, le joueur récupère sa mise.
S’il ne gagne pas et qu’il n’a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise.
On appelle X la variable aléatoire donnant legain algébrique du joueur.

a)Déterminer la loi de probabilité de X.
b)Exprimer l’espérance mathématique de X en fonction de m.
c)On dit que le jeu est équitable sil’espérance mathématique de X est nulle.
Déterminer m pour que le jeu soit équitable.

3- Soit n un entier naturel non nul.
On joue n fois à ce jeu sachant qu’aprèschaque partie les boules sont remises dans le sac.

Déterminer la valeur minimale de n pour laquelle la probabilité de gagner au moins une fois est supérieure à 0,999.