Faculté des Sciences Appliquées / Ecole Polytechnique
Deuxième année de bachelier en sciences de l’ingénieur – orientation ingénieur civil Service de Mécanique Analytique – BEAMS
PROJET DE MECANIQUE
Etude et modélisation de la trajectoire d’une balle de tennis
Année académique 2007/2008
PROJET DE MECANIQUE : TRAJECTOIRE D’UNE BALLE DE TENNIS
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TABLE DES MATIERESMODELISATION DE LA TRAJECTOIRE D’UNE BALLE DE TENNIS………………………………………………….. 2 1. 2. INTRODUCTION ………………………………………………………………………………………………………………. 2 MODELISATION MATHEMATIQUE DU MOUVEMENT DE LA BALLE ……………………………………….. 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3. 3.1 3.23.3 3.4 LA FORCE PESANTEUR. ………………………………………………………………………………………….. 3 LA TRAINEE OU LA FORCE DE FROTTEMENT …………………………………………………………….. 3 L’EFFET MAGNUS………………………………………………………………………………………………….. 3 EQUATION DU MOUVEMENT DELA BALLE DE TENNIS. ……………………………………………… 4 SIMPLIFICATION DU PROBLEME SUR BASE DE L’ENONCE. …………………………………………. 4 EQUATION DU MOUVEMENT DE LA BALLE DANS LE PLAN (x,z). …………………………………. 5 EXPRESSION DES EQUATIONS EN EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU 1er ORDRE……………. 7 RAPPELS DES DONNEESINITIALES…………………………………………………………………………… 7 SANS PORTANCE ET SANS TRAINEE…………………………………………………………………………. 8 SANS PORTANCE MAIS AVEC TRAINEE …………………………………………………………………… 12 AVEC PORTANCE ET TRAINEE……………………………………………………………………………….. 17
ETUDES DES RESULTATS DE SIMULATION SUR MATLAB……………………………………………………….. 7
EFFET DE LA PORTANCE ET DE LA TRAINEE SUR LE PREMIER REBOND …………………………………….. 22 EXEMPLES D’EFFETS POUR DESARCONER L’ADVERSAIRE ……………………………………………………….. 26
PROJET DE MECANIQUE :TRAJECTOIRE D’UNE BALLE DE TENNIS
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PROJET DE MECANIQUE RATIONNELLE
MODELISATION DE LA TRAJECTOIRE D’UNE BALLE DE TENNIS
1. INTRODUCTION
Ce rapport présente notre étude et notre simulation MATLAB de la trajectoire d’une balle de tennis. Cette étude s’effectue selon plusieurs étapes différenciées les unes des autres par le paramètre significatif étudié. Nous tentons, à la suitede ces étapes, de déterminer le meilleur service qu’un joueur devrait effectuer.
2. MODELISATION MATHEMATIQUE DU MOUVEMENT DE LA BALLE
Le principe de base à utiliser pour écrire l’équation différentielle du mouvement de la balle de tennis est la loi de Newton : l’accélération d’un objet de masse m est égale à la somme des forces appliquées sur l’objet divisé par la masse de l’objet.
x ? F ?m ??
i ?1 i
n
Considérons une balle de tennis, de masse m, de diamètre d, se déplaçant dans un référentiel attaché à la surface de la terre (fixe). Nous imposons un référentiel cartésien de coordonnées (x,y,z) avec l’axe z orienté verticalement.
On suppose également que la balle est animée d’un mouvement de rotation sur elle-même de ? vecteur vitesse angulaire ? qui est un vecteur ayantla direction de l’axe de rotation et dont l’amplitude est : ? ? constant.
d? ? t ? ? , où ? ? t ? est l’angle de rotation . On supposera également ? dt
PROJET DE MECANIQUE : TRAJECTOIRE D’UNE BALLE DE TENNIS
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2.1 La force pesanteur. Cette force est la plus simple à modéliser. Elle est donnée par le produit de la constante g et de la masse de la balle :
?
? ? ? Fg ?…