Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres
Chapitre 1
Equilibre et dynamique des structures de poutres
Objectifs : à la fin de ce chapitre, l’étudiant doit être capable de : 1. reconnaitre et définir une poutre 2. passer de la modélisation par la MMC3D à la MMC1D de la géométrie d’une poutre et des actions 3. comprendre l’utilité du torseur des actions internes 4.comprendre le principe de Saint-Venant 5. comprendre savoir ce que dit et comment/quand appliquer le PFD et le PFS 6. déterminer les inconnues des actions de liaison
M. ARFAOUI
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Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres
1.1. Introduction
Le point de départ de toute théorie mécanique est la description géométrique du système que l’on souhaite étudier. Pour un même solideréel, on connait au moins deux descriptions géométriques possibles : la mécanique des solides rigides (MSR) et la mécanique des milieux continus tridimensionnels (MMC3D). L’objectif poursuivi dans ce chapitre est la construction d’une description géométrique et d’une modélisation des actions associées aux poutres qui, tenant compte du caractère élancé de l’objet d’étude, se focalise sur leschangements de géométrie « longitudinaux ». Cependant, pour déterminer les actions des liaisons reliant les différentes poutres d’une structure, il est nécessaire de connaitre le comportement dynamique de la structure complète. Pour ce type d’étude, le détail des déformations internes à chacun des éléments de la structure de poutres est négligé, pour se limiter à l’étude des mouvements relatifs entreces éléments. Pour cela, une partie du chapitre sera consacrée à la description de la cinématique dans le cadre de la mécanique des solides indéformables. Puis les principes fondamentaux seront exprimés en utilisant le formalisme associé à ce schéma cinématique. Une fois que les outils permettant de mettre les problèmes en équations auront été présentés, des méthodes de résolution des systèmesd’équations obtenus seront présentées, dans le cadre des petits mouvements autour d’une position connue (initiale).
1.2. Passage de la modélisation géométrique par la MMC3D d’une poutre à celle de la MMC1D
1.2.1. Introduction
Définition 1.1. Comment reconnait-on une poutre ou un milieu curviligne ? Une poutre ou un milieu curviligne est un solide élancé dans une direction où une dimension dans unedirection est plus importante que dans les deux autres. Remarque 1.1. On peut donc assimiler un tel milieu à une courbe matérielle d’où l’appellation « milieu curviligne ».
M. ARFAOUI
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Chapitre 1 Equilibre et dynamique des structures de poutres
Comment reconnait-on une poutre ou un milieu curviligne ?
L
Sd
d
Comment définit-on une poutre ou un milieu curviligne ?
Sd
Lignemoyenne Section droite
Figure 1.1. Description géométrique et définition d’une poutre Définition 1.2. Comment définit-on une poutre ou un milieu curviligne ? On appelle poutre le solide engendré par une surface plane S d lorsque son centre de gravité G décrit un arc de courbe G0 G1 , le plan S d étant normal en G à cet arc. G0 G1 est la ligne moyenne de la poutre, S d la section droite. Lediamètre d de S d , caractérisant la distance séparant les deux points de S d les plus éloignés, est faible devant la longueur L de la ligne moyenne, figure (1.1.). Hypothèses 1.1. Quelles sont les conditions à vérifier par la définition (1.2) de la poutre ? Le diamètre d de chaque section droite est faible devant la longueur L de la ligne moyenne G0 G1 , ainsi que devant le rayon de courbure RC et lerayon de torsion RT de cette ligne moyenne en G. Si la section droite S d est évolutive (non constante), ses variations (taille, forme, …) en fonction de l’abscisse curviligne s de G sur G0 G1 , sont très lentes.
M. ARFAOUI
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Remarque 1.2. Si le rayon de courbure RC est faible ou que la section varie brutalement, on…