Calcul des probabilités Deug 2ième année
Gérard Letac , Université Paul Sabatier , Toulouse Juin 2001
Table des matières
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L’espace de probabilités (?,A,P ) 1.1 Introduction . . . . . . . . . . 1.2 L’espace des observables ?. . 1.3 La tribu des évènements A. . 1.4 La probabilité P . . . . . . . .
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1 1 1 2 3 7 7 9 13 15 20 20 21 22 24 24 25 26 28 28 30 32 33 35 35 40 44 49 53
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Quatre espaces de probabilitéimportants 2.1 L’espace ? est ?ni ou dénombrable. . 2.2 Le cas équiprobable. . . . . . . . . . 2.3 Le schéma Succès-Echec. . . . . . . . 2.4 Le cas où ? = IR. . . . . . . . . . .
3
Probabilités conditionnelles et indépendance 3.1 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Indépendance d’évènements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Indépendance desous tribus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Image d’une probabilité, variables aléatoires 4.1 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Image d’une probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Les variables aléatoires réelles et leurs lois. . . . . . . . . . . . . . . L’espérance mathématique d’une variable aléatoire 5.1 Lesvariables aléatoires étagées. . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Espérance d’une variable aléatoire quelconque. . . . . . . 5.3 Théorème du transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Variables aléatoires indépendantes et espérance du produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Moments, fonctions génératrices, transformées de Laplace 6.1 Moments et variance . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Les variables aléatoires à valeurs entières. . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Transformée de Laplace d’une variable aléatoire. . . . . . . . . . . . Appendice 1: Grandes déviations Appendice 2: Convergence des lois binomiales vers la loi de Poisson i
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TABLE DES MATIÈRES
9
Appendice 3: Annales des problèmes de probabilités de Deug etde licence 59
ii
www.L es-M athematiques.net
Chapitre
1
L’espace de probabilités (?,A,P )
Par Gérard Letac
1.1 Introduction
Le calcul des probabilités est la science qui modélise les phénomènes aléatoires. Une modélisation implique donc certainement une simpli?cation des phénomènes, mais cette simpli?cation conduit à une quanti?cation, donc à la possibilité de faire des calculset à prédire. Le jet d’un dé, le tirage du Loto pourraient être analysés par les lois de la mécanique, mais ce serait trop compliqué pour être utile. La modélisation du calcul des probabilités a été inventée par A. N. Kolmogorov dans un livre paru en 1933. Cette modélisation est faite à partir de 3 objets (?,A,P ) que nous allons décrire.
1.2
L’espace des observables ?.
Nous conviendronsque effectuer une expérience, c’est sélectionner par un procédé quelconque un élément ? dans un ensemble ?: jeter un dé revient à sélectionner un élément de ? = {1,2,3,4,5,6}; jeter ensemble deux dés rouge et vert revient à sélectionner un élément de l’ensemble ? = {1,2,3,4,5,6} des couples ordonnés (i,j) avec 1 ? i ? 6 et 1 ? j ? 6 (ici ? a 36 points). Plus délicat: jeter ensemble deux désindiscernables revient à sélectionner un élément de l’ensemble ? des couples (i,j) avec 1 ? i ? j ? 6 (ici ? a 6+ 1 6×5 = 21 points). Observer la durée de vie d’une ampoule 2 de 100 watts revient à sélectionner un élément de ? = [0, + ?[. Mesurer la durée de vie de 12 ampoules de 100 watts est sélectionner un élément de ? = [0, + ?[12 . Cet ensemble ? est appelé l’espace des observables. On dit aussi…