DURATION
La duration d’une obligation touchant les flux [pic]lors des périodes restantes, est donnée par la formule suivante, où [pic]est l’intervalle de temps, exprimé en années, séparant la date d’actualisation [pic]de la date [pic]du flux :
[pic]
avec [pic]le taux actuariel de l’obligation tel que le prix observé [pic]de l’obligation corresponde à la valeur actualisée de celle-ci. Ilest la solution de l’équation :
[pic]
On remarque (cf. ci-dessus, Confusions à éviter) que la mesure du risque de taux instantané, [pic]s’exprime certes en fonction de la duration
[pic]
mais en est bien différente.
Autrement dit, la duration est l’élasticité (au signe près) du prix de l’obligation au taux actuariel :
[pic]
[pic]

SENSIBILITE
La sensibilité estdonnée par la formule suivante :
[pic]
avec :
[pic]le prix de l’obligation,
[pic]le flux (coupon et capital) de la période [pic],
[pic]est l’intervalle de temps, exprimé en années, séparant la date d’actualisation de la date du flux [pic]
[pic]le taux actuariel de l’obligation.
On remarque que la sensibilité peut s’exprimer en fonction de la duration [pic] :[pic]
CONVEXITE
La convexité (en anglais : bond convexity) est un indicateur du risque de taux lié à un instrument à taux fixe, comme une obligation, qui complète la sensibilité ou la duration
En utilisant le théorème de Taylor, on peut approcher la variation du prix d’une obligation en fonction de son taux actuariel. [pic]
Avec :
• [pic]le taux actuariel,
• [pic]le prix del’instrument en fonction du taux actuariel,
• [pic]la dérivée du prix de l’instrument par rapport au taux actuariel.
• [pic]la dérivée seconde du prix de l’instrument.
[pic]
[pic]
Soit en utilisant la définition de la sensibilité S.
[pic]
Et avec la définition suivante de la convexité
[pic]
On peut écrire:
[pic]
Le terme convexité est utilisé car le signe de cette valeur détermine laconvexité locale de la fonction P.

FORMULE
En appliquant la définition à la valeur actualisée, on trouve:
[pic]

avec :
[pic]le prix de l’obligation,
[pic]le flux (coupon et capital) de la période [pic],
[pic]est l’intervalle de temps, exprimé en années, séparant la date d’actualisation de la date du flux [pic]
[pic]le taux actuariel de l’obligation.TAUX ACTUARIEL
Le taux actuariel d’un ensemble de flux financiers, comme un emprunt bancaire ou obligataire ou encore d’un placement, est son taux calculé selon le modèle actuariel, lequel est une simplification du processus d’actualisation.
• calculant la valeur actualisée VA(Fi) de chaque flux futur Fi, positif ou négatif, de remboursement, de paiement d’intérêt ou autre
[pic]
où•
o Fi est le montant du flux à l’époque où il sera disponible
o Zi est le taux d’actualisation applicable de la date d’actualisation à la date du flux Fi
o Xi est le temps, exprimé en nombre d’années, de la date d’actualisation à la date du flux Fi.
• puis additionnant tous les VA(Fi) obtenus,
|VA = |? |VA(Fi) |
| |i | |

ce qui donnela valeur actualisée. Celle-ci est alors directement comparable à la valeur comptable ou de marché à cette date, de l’emprunt, du prêt, de l’obligation ou du placement (après prise en compte des frais annexes éventuels).
On voit tout de suite la difficulté inhérente à ce processus : déterminer les taux Zi, qui sont connus sous le nom de taux zéro-coupons. Jusqu’aux années 1980, le manque deliquidité des marchés financiers et l’absence d’arbitrage entre instruments qui en découlait, rendait la détermination des courbes de taux zéro-coupons hasardeuse et conduisait à n’utiliser en pratique qu’une version primitive du processus, le modèle actuariel, qui remplace tous les Zi par un seul taux T, sorte de taux moyen pondéré d’actualisation, le taux actuariel, généralement obtenu par…