´ ` ´ COURS DE MATHEMATIQUES PREMIERE ANNEE (L1) ´ UNIVERSITE DENIS DIDEROT PARIS 7 Marc HINDRY Introduction et pr´sentation. e 1 Le langage math´matique e 2 Ensembles et applications 3 Groupes, structures alg´briques e 4 Les corps des r´els R et le corps des complexes C e 5 L’anneau des entiers Z 6 L’anneau des polynˆmes o 7 Matrices 8 Espaces vectoriels 9 Applications lin´aires e 10Introduction aux d´terminants e 11 G´om´trie dans le plan et l’espace e e Appendice : R´sum´ d’alg`bre lin´aire e e e e 12 Suites de nombres r´els ou complexes e 13 Limites et continuit´ e 14 D´riv´es et formule de Taylor e e 15 Int´gration e 16 Quelques fonctions usuelles 17 Calcul de primitives 18 Int´grales impropres e 19 Courbes param´tr´es et d´veloppements limit´s e e e e 20 Equations di?´rentielles e21 Fonctions de plusieurs variables 1 page 2 page 4 page 8 page 23 page 33 page 46 page 53 page 65 page 74 page 84 page 90 page 96 page 105 page 109 page 118 page 125 page 135 page 144 page 153 page 162 page 167 page 178 page 189

Tous les chapitres sont importants. Le premier chapitre est volontairement bref mais fondamental : il y aura int´rˆt ` revenir sur les notions de langage math´matiqueet ee a e de raisonnement tout au long du cours, ` l’occasion de d´monstrations. Les chapitre 19 a e et 20 reposent sur une synth`se de l’alg`bre (lin´aire) et de l’analyse (calcul di?´rentiel et e e e e int´gral) tout en ´tant assez g´om´triques. Le chapitre 21 (fonctions de plusieurs variables) e e e e appartient en pratique plutˆt ` un cours de deuxi`me ann´e; il a ´t´ ajout´ pour les o a e eee e ´tudiants d´sirant anticiper un peu ou ayant besoin, par exemple en physique, d’utiliser e e les fonctions de plusieurs variables et d´riv´es partielles, d`s la premi`re ann´e. e e e e e L’ordre des chapitres. L’ordre choisi n’est que l’un des possibles. En particulier on pourra vouloir traiter l’“analyse” (chapitres 12-20) en premier : pour cela on traitera d’abord le chapitre sur lesnombres r´els et complexes (ou la notion de limite est introduite e tr`s tˆt), le principe de r´currence et on grapillera quelques notions sur les polynˆmes e o e o et l’alg`bre lin´aire. La s´quence d’alg`bre lin´aire (chapitres 7-11) est tr`s inspir´e de e e e e e e e la pr´sentation par Mike Artin (Algebra, Prentice-Hall 1991) mais on peut choisir bien e d’autres pr´sentations. On pourra aussi parexemple pr´f´rer ´tudier Z avant R et C (du e ee e point de vue des constructions, c’est mˆme pr´f´rable!). Le chapitre 16 sur les fonctions e ee usuelles peut ˆtre abord´ ` peu pr`s ` n’importe quel moment, quitte ` s’appuyer sur les e ea e a a notions vues en terminale. Nous refusons le point de vue : “… cet ouvrage part de z´ro, nous ne e supposons rien connu…”. Au contraire nous pensonsqu’il faut s’appuyer sur les connaissances de terminale et sur l’intuition (notamment g´om´trique). Il semble parfaitement e e valable (et utile p´dagogiquement) de parler de droites, courbes, plans, fonction exponene tielle, logarithme, sinus, etc … avant de les avoir formellement introduit dans le cours. Il semble aussi dommage de se passer compl`tement de la notion tr`s intuitive d’angle sous e epr´texte qu’il s’agit d’une notion d´licate ` d´?nir rigoureusement (ce qui est vrai). e e a e Illustrations : Nous avons essay´ d’agr´menter le cours d’applications et de motivae e tions provenant de la physique, de la chimie, de l’´conomie, de l’informatique, des sciences e humaines et mˆme de la vie pratique ou r´cr´ative. En e?et nos pensons que mˆme si e e e e on peut trouver les math´matiquesint´ressantes et belles en soi, il est utile de savoir que e e beaucoup des probl`mes pos´s ont leur origine ailleurs, que la s´paration avec la physique e e e est en grande partie arbitraire et qu’il est passionnant de chercher ` savoir ` quoi sont a a appliqu´es les math´matiques. e e Indications historiques Il y a h´las peu d’indications historiques faute de temps, e de place et de…